ZAWODNIK

Systemy liczbowe: BIN, OCT, HEX, DEC, kod U2, działania

INF.03 · teoria
autor: redakcja · 02.11.2026
Przeliczanie liczb między systemami binarnym, ósemkowym, szesnastkowym i dziesiętnym. Zapis liczb ujemnych w U2, dodawanie binarne i operacje logiczne z wynikami. Lekcja 2.3 kursu INF.03.

[ INF.03: PYTANIA Z TEGO DZIAŁU ]

Przejrzyj pytania: AlgorytmyĆwicz temat: AlgorytmyPrzejrzyj pytania: Podstawy informatykiĆwicz temat: Podstawy informatyki
Po­zy­cyj­ny system licz­bo­wy to sposób zapisu, w którym war­tość cyfry zależy od jej miej­sca oraz pod­sta­wy sys­te­mu. Na eg­za­mi­nie trzeba prze­li­czyć liczbę, od­czy­tać kolor za­pi­sa­ny szes­nast­ko­wo lub roz­po­znać wynik dzia­ła­nia bi­nar­ne­go. Ten sam zapis bitów może też ozna­czać liczbę ujemną, jeżeli za­da­nie wska­zu­je kod uzu­peł­nie­nio­wy do dwóch i dłu­gość słowa.

Pod­sta­wa i wagi po­zy­cji

Pod­sta­wa sys­te­mu okre­śla liczbę do­stęp­nych cyfr. System dzie­sięt­ny DEC (decimal, dzie­sięt­ny) ma pod­sta­wę 10 i cyfry od 0 do 9. BIN (binary, bi­nar­ny) ma pod­sta­wę 2 oraz cyfry 0 i 1. OCT (octal, ósem­ko­wy) ma pod­sta­wę 8, więc cyfra 8 w nim nie wy­stę­pu­je. HEX (hexadecimal, szes­nast­ko­wy) używa cyfr od 0 do 9 i liter A, B, C, D, E, F o war­to­ściach od 10 do 15.
Po­zy­cje liczy się od prawej, za­czy­na­jąc od zera. War­to­ści ko­lej­nych miejsc w BIN to 1, 2, 4, 8, 16, 32 i dalej potęgi dwójki. W HEX to 1, 16, 256 i na­stęp­ne potęgi szes­nast­ki. Zapis 101 może więc ozna­czać 101 dzie­sięt­nie albo 5 bi­nar­nie. Bez wska­za­nej pod­sta­wy nie wolno za­kła­dać, że wygląd cyfr wy­star­cza.
Liczbę bi­nar­ną 101101 prze­li­cza­my przez do­da­nie wag za­ję­tych przez je­dyn­ki. Od lewej są to 32, 8, 4 oraz 1. Suma wynosi 45. Zera na po­zy­cjach 16 i 2 nie wnoszą nic do wyniku, lecz nadal zaj­mu­ją miej­sce. Usu­nię­cie zera ze środka zmie­ni­ło­by wagi wszyst­kich cyfr po jego lewej stro­nie.
W licz­bie szes­nast­ko­wej 2D litera D ma war­tość 13. Pierw­sza po­zy­cja wnosi dwa razy 16, druga 13 razy 1, razem 45. Liczba ósem­ko­wa 55 ozna­cza pięć razy 8 plus pięć, rów­nież 45. To jedna war­tość za­pi­sa­na na trzy spo­so­by, a nie trzy różne wiel­ko­ści. W tabeli po­moc­ni­czej można do­pi­sy­wać pod­sta­wy do każdej liczby.

Za­mia­na liczby dzie­sięt­nej

Dzie­le­nie z resztą po­zwa­la otrzy­mać cyfry w nowej pod­sta­wie. Po­dziel liczbę przez pod­sta­wę, zapisz resztę, a otrzy­ma­ny cał­ko­wi­ty iloraz dziel dalej. Za­kończ po osią­gnię­ciu ilo­ra­zu zero. Reszty od­czy­taj od ostat­niej do pierw­szej, po­nie­waż naj­pierw wy­zna­cza­na jest naj­mniej zna­czą­ca cyfra.
Dla liczby 45 i pod­sta­wy 2 ko­lej­ne ilo­ra­zy to 22, 11, 5, 2, 1 oraz 0. Reszty po­wsta­ją w ko­lej­no­ści 1, 0, 1, 1, 0, 1. Czy­ta­ne od końca dają 101101. Kon­tro­la polega na po­now­nym do­da­niu wag: 32 plus 8 plus 4 plus 1 daje 45. Dzięki temu po­my­lo­na ko­lej­ność reszt nie przej­dzie nie­zau­wa­żo­na.
Przy pod­sta­wie 16 wy­star­czą dwa dzie­le­nia. 45 po­dzie­lo­ne przez 16 daje iloraz 2 i resztę 13, którą za­pi­su­je­my jako D. Na­stęp­nie 2 po­dzie­lo­ne przez 16 daje iloraz 0 i resztę 2. Odczyt od końca daje 2D. Wyniku nie za­pi­su­je­my jako 213, bo reszta 13 ma być jedną cyfrą szes­nast­ko­wą, a nie dwiema cy­fra­mi dzie­sięt­ny­mi.
Naj­ła­twiej po­my­lić iloraz z resztą. Iloraz mówi, ile peł­nych grup się mieści, a reszta, ile po­zo­sta­je. Jeżeli liczba jest pa­rzy­sta, jej reszta z dzie­le­nia przez dwa wynosi zero, więc ostat­ni bit jest zerem. Ta prosta kon­tro­la wy­kry­wa część błędów, zanim spraw­dzi­my całe prze­li­cze­nie.

Gru­po­wa­nie bitów do HEX i OCT

Jedna cyfra HEX od­po­wia­da czte­rem bitom, po­nie­waż cztery bity dają 16 moż­li­wych kom­bi­na­cji. Jedna cyfra OCT od­po­wia­da trzem bitom, bo trzy bity dają osiem kom­bi­na­cji. Przy licz­bach cał­ko­wi­tych gru­po­wa­nie za­czy­na się od prawej. Bra­ku­ją­ce zera do­pi­su­je się po lewej, co nie zmie­nia war­to­ści do­dat­niej liczby bez znaku.
Dla 101101 grupy czte­ro­bi­to­we to 0010 i 1101, czyli 2 oraz D. Grupy trzy­bi­to­we to 101 i 101, czyli 5 oraz 5. Ta metoda omija przej­ście przez system dzie­sięt­ny. Przy za­mia­nie od­wrot­nej każdą cyfrę za­mie­nia­my na pełną grupę, na przy­kład A3 na 1010 i 0011. Po­mi­nię­cie zer we­wnątrz dru­giej grupy dałoby inną liczbę.
Można po­rów­nać zapis w kon­wer­te­rze sys­te­mów licz­bo­wych. Naj­pierw wy­bierz pod­sta­wę wej­ścio­wą, potem wpisz war­tość. Na­rzę­dzie nie od­gad­nie, czy 10 miało ozna­czać dwa, osiem, dzie­sięć czy szes­na­ście. Kon­tro­la kal­ku­la­to­rem ma spraw­dzić ra­chu­nek, a nie za­stą­pić okre­śle­nie danych za­da­nia.

Liczby ujemne w kodzie U2

Kod U2, czyli uzu­peł­nie­nie do dwóch, za­pi­su­je liczby cał­ko­wi­te ze zna­kiem na usta­lo­nej licz­bie bitów. Dla ośmiu bitów zakres wynosi od -128 do 127. Naj­bar­dziej zna­czą­cy bit ma wagę ujemną -128, a po­zo­sta­łe wagi to 64, 32, 16, 8, 4, 2 i 1. Bez po­da­nia sze­ro­ko­ści słowa zapis liczby ujem­nej jest nie­peł­ny.
Aby za­pi­sać -5 na ośmiu bitach, za­cznij od do­dat­nie­go 5, czyli 00000101. Odwróć każdy bit: po­wsta­je 11111010. Dodaj jeden: otrzy­masz 11111011. Kon­tro­la wag daje -128 plus 64 plus 32 plus 16 plus 8 plus 2 plus 1, czyli -5. Samo od­wró­ce­nie bitów nie wy­star­czy: bez do­da­nia je­dyn­ki byłby to inny kod.
Ten sam ciąg 11111011 od­czy­ta­ny bez znaku ozna­cza 251. To sposób in­ter­pre­ta­cji de­cy­du­je o zna­cze­niu, a nie sam ry­su­nek bitów. Przy roz­sze­rza­niu U2 po­wie­la się bit znaku, dla­te­go -5 na 16 bitach za­czy­na się od ośmiu je­dy­nek i kończy do­tych­cza­so­wy­mi ośmio­ma bitami. Do­pi­sy­wa­nie zer zmie­ni­ło­by liczbę ujemną na do­dat­nią.

Dzia­ła­nia i logika bitowa

Do­da­wa­nie bi­nar­ne sto­su­je prze­nie­sie­nie: zero plus zero daje zero, zero plus jeden daje jeden, a jeden plus jeden daje zero z je­dyn­ką prze­nie­sio­ną dalej. Do­da­nie 0101 i 0011 daje 1000, czyli 5 plus 3 równe 8. Odej­mo­wa­nie można spraw­dzić dzia­ła­niem od­wrot­nym; 1000 minus 0011 daje 0101. Mno­że­nie przez dwa prze­su­wa do­dat­nią liczbę bez znaku o jedną po­zy­cję w lewo, jeżeli wynik mieści się w przy­ję­tej sze­ro­ko­ści.
Ope­ra­cje lo­gicz­ne wy­ko­nu­je się na od­po­wia­da­ją­cych sobie bitach. AND (I) daje je­dyn­kę, gdy oba bity są je­dyn­ka­mi. OR (LUB) daje je­dyn­kę, gdy przy­naj­mniej jeden jest je­dyn­ką. XOR (ALBO) daje je­dyn­kę, gdy bity są różne. NOT (NIE) od­wra­ca bity. Dla 1010 i 1100 wyniki to od­po­wied­nio 1000, 1110 oraz 0110. NOT dla czte­rech bitów 1010 daje 0101; sze­ro­kość musi być usta­lo­na.
Za­leż­no­ści po­je­dyn­czych wejść można prze­śle­dzić w na­rzę­dziu bramki lo­gicz­ne. Do­da­wa­nie liczb i ope­ra­cja OR mają różne reguły: dla dwóch je­dy­nek OR daje jeden, a do­da­wa­nie daje zero z prze­nie­sie­niem. To nie są za­mien­ne spo­so­by su­mo­wa­nia.

Na eg­za­mi­nie

Przed ob­li­cze­niem zapisz pod­sta­wę, dłu­gość słowa i in­for­ma­cję o znaku. W py­ta­niu o U2 nie stosuj za­kre­su liczb bez znaku. W ośmio­bi­to­wym U2 do­da­nie 01111111 i 00000001 daje 10000000, lecz do­dat­nie 128 nie mieści się w za­kre­sie. Na­stą­pi­ło prze­peł­nie­nie ze zna­kiem, a od­czy­ta­ny wynik to -128.
Pu­łap­ka: prze­nie­sie­nie poza słowo i prze­peł­nie­nie ze zna­kiem opi­su­ją różne zja­wi­ska. W U2 suma dwóch do­dat­nich liczb nie może po­praw­nie dać liczby ujem­nej.
W za­da­niu do­ty­czą­cym ko­lo­rów HEX dziel zapis na pary cyfr okre­śla­ją­ce skła­do­we barwy. Dla każdej pary działa ta sama metoda wag. Samą in­ter­pre­ta­cję barw opi­su­ją lekcje działu gra­fi­ki; tutaj naj­waż­niej­sza jest po­praw­na za­mia­na war­to­ści.

Ściąga

Reguła
Przy­kład
wagi BIN
32, 16, 8, 4, 2, 1
BIN do DEC
101101 to 45
HEX do DEC
2D to 2 razy 16 plus 13 = 45
gru­po­wa­nie HEX
po 4 bity od prawej
gru­po­wa­nie OCT
po 3 bity od prawej
U2, 8 bitów
zakres -128 do 127
zapis -5 w U2
00000101, odwróć, dodaj 1: 11111011
AND, OR, XOR
1010 i 1100: 1000, 1110, 0110
Pobierz ściągę PDF

[ W TYM DZIALE ]

poprzednia: Systemy informatyczne i e-usługi: PESEL, e-dziennik, profil zaufany, chmura, e-commercenastępna: Sieć dla webdeva: TCP/IP, HTTP i HTTPS, DNS, porty, upload i downloadspis działu: Podstawy informatyki

[ INF.03: INNE ARTYKUŁY ]

Hub INF.03Zakres materiałuDokumenty CKEFormularze HTML na egzaminie INF.03Grafika i multimedia na egzaminie INF.03JavaScript na egzaminie INF.03Zapytania SQL na egzaminie INF.03Bazy danych i SQL na egzaminie INF.03pokaż więcej (85)
ZAWODNIK
egzamin zawodowy INF.02 · INF.03 · INF.04
Serwer Discord›
Egzaminy zawodowe IT/Matury/Studia
@yastor
Polityka prywatnościRegulaminKontakt
© 2026 Zawodnik · by Yastor
Arkusze i zasady oceniania pochodzą z CKE. Serwis nie jest powiązany z Centralną Komisją Egzaminacyjną.